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正比例函數（一次函數的一種特殊形式）

次瀏覽 | 更新時間：2023-05-22

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正比例函數

一次函數的一種特殊形式

一般地，兩個變量x、y之間的關系式可以表示成形如y=kx的函數（k為常數，x的次數為1，且k≠0），那么y=kx就叫做正比例函數。

正比例函數屬一次函數，但一次函數卻不一定是正比例函數。正比例函數是一次函數的特殊形式，即一次函數 y=kx+b 中，若b=0，即所謂“y軸上的截距”為零，則為正比例函數。

正比例函數的關系式表示為：y=kx（k為比例系數）。

當k>0時（一三象限），k的絕對值越大，圖像與y軸的距離越近；函數值y隨著自變量x的增大而增大；

當K<0時（二四象限），k的絕對值越小，圖像與y軸的距離越遠。自變量x的值增大時，y的值則逐漸減小。

基本信息

中文名	正比例函數
外文名	directly proportional function
提出者	Jack louny
表達式	y=kx
應用學科	數學

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定義

正比例函數屬于一次函數，是一次函數的一種特殊形式。即一次函數形如：

（k為常數，且k≠0）中，當b=0時，則叫做正比例函數。一般地，形如

（k是常數，k≠0）的圖像是一條經過原點的直線，我們稱它為直線

。

性質

單調性

當

時，圖像經過第一、三象限，從左往右上升，y隨x的增大而增大（單調遞增），為增函數；

當

時，圖像經過第二、四象限，從左往右下降，y隨x的增大而減小（單調遞減），為減函數。

對稱性

對稱點：關于原點成中心對稱。

對稱軸：自身所在直線；自身所在直線的垂直平分線。

圖像

圖像描述

正比例函數的圖像是經過坐標原點（0，0）和定點（1，k）兩點的一條直線，它的斜率是k（k表示正比例函數與x軸的夾角大小），橫、縱截距都為0，正比例函數的圖像是一條過原點的直線。

正比例函數

，當k的絕對值越大，直線越“陡”；當k的絕對值越小，直線越“平”。

1、已知一點坐標，用待定系數法求函數解析式。先設解析式為

，再代入已知點坐標，解出k的值。

2、解出k的值后，在數軸上標出各點并連接個點

圖像作法

（一）

正比例函數的圖片

1、在x允許的范圍內取一個值，根據解析式求出y的值；

2、根據第一步求的x、y的值描出點；

3、作出第二步描出的點和原點的直線（因為兩點確定一直線）。

（二）

1、已知一點坐標，用待定系數法求函數解析式。先設解析式為

，再代入已知點坐標，解出k的值；

2、解出k的值后，在數軸上標出各點并連接個點。

圖像性質

正比例函數在線性規(guī)劃問題中體現的力量也是無窮的。

比如斜率問題就取決于k值，當k越大，則該函數圖像與x軸的夾角越大，反之亦然。

還有，y=kx 是 y=k/x 的圖像的對稱軸。

正比例

①正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做成正比例關系。

②用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關系可以用以下關系式表示：其中k為常數。

③正比例關系兩種相關聯的量的變化規(guī)律：對于比值為正數的，即y=kx(K為常數，k≠0)，此時的y與x，同時擴大，同時縮小，比值不變。例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間成正比例。以上各種商都是一定的，那么被除數和除數所表示的兩種相關聯的量成正比例關系。

注意：在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時，應注意這兩種相關聯的量，雖然也是一種量隨著另一種的變化而變化，但它們相對應的兩個數的比值不一定，那它們就不能成正比例。例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比例關系，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關系。而單價數量與總價是成正比的（單價不變，總價隨著數量的增減而增減）。

例題

首先通過5個問題，得出5個函數，觀察這5個函數，可納出正比例函數概念。

根據上面的5個實際問題，我們得到5個函數。下面觀察這5個函數的共同點，以便歸納出正比例函數概念。