雙曲線（應(yīng)用于數(shù)學(xué)解析幾何的函數(shù)曲線）
次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-31
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雙曲線（hyperbola）是一種圓錐曲線，由一個(gè)不通過直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉得到。雙曲線也是平面到兩個(gè)固定的點(diǎn)的距離差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)常數(shù)就是雙曲線的焦距。 在數(shù)學(xué)解析幾何中，雙曲線是由方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 表示的函數(shù)曲線，其中 a 和 b 是常數(shù)，且 a>0。雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，并且永遠(yuǎn)是左右兩個(gè)分支相互對稱。 雙曲線在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中有廣泛應(yīng)用。例如，在光學(xué)中，雙曲線被用于設(shè)計(jì)折射望遠(yuǎn)鏡和反射望遠(yuǎn)鏡；在物理學(xué)中，雙曲線被用于描述電磁波、光學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域的現(xiàn)象；在數(shù)學(xué)中，雙曲線被用于研究圓錐曲線、函數(shù)和不等式等主題。雙曲線
應(yīng)用于數(shù)學(xué)解析幾何的函數(shù)曲線
雙曲線（英文：hyperbola）是常見的一類圓錐曲線，可以由一個(gè)不通過直圓錐面的頂點(diǎn)的平面去截取圓錐體的兩個(gè)葉得到。雙曲線也是平面到兩個(gè)固定的點(diǎn)的距離差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。
基本信息
中文名
雙曲線
英文名
hyperbola
提出時(shí)間
16世紀(jì)
相關(guān)人物
梅內(nèi)克謬斯、阿波羅尼奧斯、歐拉等
相關(guān)著作
《圓錐曲線論》 、《分析引論》
研究對象
解析幾何
運(yùn)用領(lǐng)域
數(shù)學(xué)
歷史
梅內(nèi)克謬斯對雙曲線的研究
約公元前 4 世紀(jì)，古希臘學(xué)者梅內(nèi)克謬斯(Menaechmus)在研究平面與圓錐相交時(shí)最先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，即橢圓，拋物線和雙曲線是圓錐體表面與平面的交點(diǎn)產(chǎn)生的。如圖所示，
阿波羅尼奧斯對雙曲線的研究
公元前2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）從純幾何的思想出發(fā)，建立起系統(tǒng)的圓錐曲線理論。討論如右圖所示，他在同一個(gè)圓錐體中使用不同的切割面得到了圓、圓、雙曲線、拋物線4種圖形。阿波羅尼奧斯發(fā)表了數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》，該著作詳細(xì)介紹了雙曲線等圓錐曲線的性質(zhì)。
16世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒（Johannes Kepler）發(fā)現(xiàn)了行星三大定律，意大利數(shù)學(xué)家伽利略·伽利雷（Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei）基于運(yùn)動合成的思想，發(fā)現(xiàn)了物體斜拋運(yùn)動的軌跡為拋物線，人們開始意識到圓錐曲線不單是圓錐體的切割面，還與自然界的運(yùn)動變化息息相關(guān)。
17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes）和皮耶·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）創(chuàng)立了解析幾何，建立起坐標(biāo)系的概念，用數(shù)學(xué)方程來研究圓錐曲線的各種性質(zhì)。1745 年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）發(fā)表了《分析引論》，基于方程思想對圓錐曲線進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。
基本概念
定義
雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)
如圖所示，直角坐標(biāo)系中
上述方程的曲線即為雙曲線。
標(biāo)準(zhǔn)方程
對
上式記為式（1）。由于
令
兩邊同除以
該方程稱為焦點(diǎn)在
如果雙曲線的焦點(diǎn)在
式中,
幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)在
范圍
整理方程
也就是說
對稱性
從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以看到，雙曲線的圖像關(guān)于
頂點(diǎn)
將
將
從上述分析也可以看出，雙曲線的焦點(diǎn)在實(shí)軸上，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)總是在同一條對稱軸。
漸近線
分別作兩條對角線
漸近線的做法
如圖所示，可以根據(jù)如下步驟作出漸近線。
分別過 
離心率
定義雙曲線的離心率
由于
準(zhǔn)線
雙曲線的準(zhǔn)線
如圖所示，直線
雙曲線
切線
對于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
曲線上的一點(diǎn)
下表是雙曲線兩類標(biāo)準(zhǔn)的方程的部分性質(zhì)。
標(biāo)準(zhǔn)方程 | | | |
性 質(zhì) | 范 圍 | |   |
對稱性 | 對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心:原點(diǎn) | ||
頂 點(diǎn) | |   | |
漸近線 | | | |
離心率 | | ||
實(shí)虛軸 | 線段 | ||
| |||
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)，資料來源于： | |||
表示方法
幾何表示
標(biāo)準(zhǔn)方程
當(dāng)焦點(diǎn)位于
圓錐曲線的幾何表示
上述方程也稱為第一標(biāo)準(zhǔn)方程。
當(dāng)焦點(diǎn)位于
上述方程也稱為第二標(biāo)準(zhǔn)方程。
在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，
極坐標(biāo)方程
建立如右圖所示的極坐標(biāo)，則雙曲線的極坐標(biāo)方程為：
式中，
圓錐曲線的極坐標(biāo)方程
當(dāng) 
參數(shù)方程
雙曲線
類似地，雙曲線
特殊的雙曲線
等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸相等的雙曲線，稱為等軸曲線，也稱為直角雙曲線。
所有等軸雙曲線的離心率
共軛雙曲線
如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸(這里的實(shí)軸和虛軸指的是線段)，則稱這兩條雙曲線是共軛的。每條雙曲線都叫作另一條雙曲線的共軛雙曲線。如果兩條雙曲線共軛，則這兩條雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)到共同中心是等距的，此外，它們有共同的漸近線。
由共軛雙曲線的定義可知：
雙曲線
反比例函數(shù)
形如
反比例函數(shù)的曲線是一種特殊的等軸雙曲線，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，漸近線為
證明如下：
在直角坐標(biāo)系
該等軸雙曲線上點(diǎn)在新的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)與原坐標(biāo)系坐標(biāo)存在如下關(guān)系：
則新的坐標(biāo)系中可以得到：
如果令
則有
不妨使用
則有
即得到反比例函數(shù)的圖像。
應(yīng)用
雙曲線是一種常見的二次曲線，在許多領(lǐng)域都有著廣泛的用途。例如, 在軍事上, 根據(jù)觀察站所測得的炮聲的時(shí)間差, 借助于雙曲線方程, 就可以 確定出敵人的炮兵陣地的位置. 又如, 巴黎有名的埃菲爾鐵塔是雙曲線形的建筑。由雙曲線生成 的曲面具有良好的抗壓能力, 被廣泛用于多類工程設(shè)計(jì)中, 能節(jié)省大量的建筑材料, 進(jìn)而減少投資,降低成本。如許多水電站大壩就是采用的是雙曲面構(gòu)型。
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作者
