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變分原理（物理學(xué)的基本原理）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-07-18

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變分原理是物理學(xué)中的一條基本原理，它以變分法來(lái)表達(dá)。根據(jù)科內(nèi)利烏斯·蘭佐斯的說(shuō)法，任何可以用變分原理來(lái)表達(dá)的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被說(shuō)成是厄米的，它描述了在厄米變換下的不變量。菲利克斯·克萊因的愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)試圖鑒識(shí)這類(lèi)在一組變換下的不變量。變分原理在物理學(xué)中有著重要的應(yīng)用。例如，在最小作用量原理中，它被用來(lái)描述物理系統(tǒng)的演化。在這個(gè)原理中，物理系統(tǒng)的演化被定義為使得作用量最小的路徑。這個(gè)原理在量子力學(xué)、經(jīng)典力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。此外，變分原理還在量子力學(xué)中的薛定諤方程中起著重要的作用。薛定諤方程是一個(gè)本征值問(wèn)題，它的解是一組本征函數(shù)，這些本征函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)完備的基組。在這個(gè)基組上，物理系統(tǒng)的哈密頓算子可以表示成一個(gè)本征值問(wèn)題，這個(gè)本征值問(wèn)題的解就是系統(tǒng)的能級(jí)和波函數(shù)。總的來(lái)說(shuō)，變分原理是物理學(xué)中的一條重要原理，它在描述物理系統(tǒng)的演化、量子力學(xué)中的本征值問(wèn)題等方面都有著廣泛的應(yīng)用。

變分原理

物理學(xué)的基本原理

變分原理是物理學(xué)的一條基本原理，以變分法來(lái)表達(dá)。根據(jù)科內(nèi)利烏斯·蘭佐斯的說(shuō)法，任何可以用變分原理來(lái)表達(dá)的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被說(shuō)成是厄米的，描述了在厄米變換下的不變量菲利克斯·克萊因的愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)試圖鑒識(shí)這類(lèi)在一組變換下的不變量。

基本信息

外文名

Variational principle

學(xué)科

數(shù)學(xué)

微分定義式

f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x)

變分定義

變分法是討論泛函極值的工具，所謂泛函，是指函數(shù)的定義域是一個(gè)無(wú)限維的空間，即曲線空間。在歐氏平面中，曲線的長(zhǎng)的函數(shù)是泛函的一個(gè)重要的例子。一般來(lái)說(shuō)，泛函就是曲面空間到實(shí)數(shù)集的任意一個(gè)映射。

函數(shù)的微分定義式為f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那么泛函的微分有類(lèi)似的定義：Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此處F為h的函數(shù)，R=o(h^2).注意，這里和微分不同的是h不一定是無(wú)窮小量。

基本簡(jiǎn)介

設(shè)有一個(gè)體系，其中能量的有關(guān)條件已知，換句話說(shuō)，已經(jīng)知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛定諤方程來(lái)找出波函數(shù)，可以任意猜測(cè)一個(gè)歸一化的波函數(shù)，比如說(shuō)φ，結(jié)果是根據(jù)猜測(cè)的波函數(shù)得到的哈密頓算符的期望值將會(huì)高于實(shí)際的基態(tài)能量。變分原理是變分法的基本原理，用于量子力學(xué)和量子化學(xué)來(lái)近似求解體系基態(tài)。

變分定理

泛函

是可微的，其微分（變分）是

參考文獻(xiàn)：

1）錢(qián)偉長(zhǎng)，《變分法及有限元（上冊(cè)）》，科學(xué)出版社， 1980年8月第一版

2）Shen Xiaoming(沈孝明)，Mixed Compatible Element and Mixed Hybrid Incompatible Element Variational Methods in Dynamic of Viscous Barotropic Fluids，Proceedings ofthe second international confernce on fluid mechanics(Bejing,1993):511-516;

APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS(English Edition)，Vol.15，No.6，JUN.1994：561-569

3）沈孝明，粘性流動(dòng)的最大功率消耗原理不成立——論自然條件不參加變分兼論變分的定義和運(yùn)算法則，北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1990，26(3)：291-293

4）Shen Xiaoming(沈孝明)，Deformation Power and Complementary Power and so Forth of Compressible Viscous Fluid Floows and Their Applications in Variational Principles，《Some new trends on fluid mechanics and theoretical physics》，Chair man of Editiorial commitee:C.C.Lin(林家翹)，Peking UnivercityPress，F(xiàn)rist Edition 1993:305-307

5）沈孝明，粘性流體動(dòng)力學(xué)有限元變分原理，上海力學(xué)，1997，18(3)：201-206

6）沈孝明，非線性彈性體大變形問(wèn)題的新廣義變分原理，上海力學(xué)，1988，9(4)：66-72

外部鏈接

1.Venables, John, "The Variational Principle and some applications". Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graduate Course: Quantum Physics)2.Williamson, Andrew James, "The Variational Principle-- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations". Robinson College, Cambridge, Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory. September 1996. (dissertation of Doctor of Philosophy)3.Tokunaga, Kiyohisa, "Variational Principle for Electromagnetic Field". Total Integral for Electromagnetic Canonical Action,

Canonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI

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