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柯西不等式（求解不等式的重要工具）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-31

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柯西不等式

求解不等式的重要工具

柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因?yàn)椋呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)不等式，其在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著十分廣泛的應(yīng)用，所以在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要，是高中數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之一。

基本信息

中文名	柯西不等式
外文名	Cauchy-Buniakowsky-SchwarzInequality
提出者	柯西
提出時(shí)間	18世紀(jì)
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué)
推廣者	赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨

收起

提出者簡(jiǎn)介

柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法國(guó)數(shù)學(xué)家，1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國(guó)波旁王朝的官員，在法國(guó)動(dòng)蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠(chéng)的天主教徒。

他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來(lái)稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數(shù)學(xué)寫作上，他被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以《分析教程》（1821年）和《關(guān)于定積分理論的報(bào)告》（1827年）最為著名。不過(guò)他并不是所有的創(chuàng)作都質(zhì)量很高，因此他還曾被人批評(píng)“高產(chǎn)而輕率”，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子（高斯）相反。據(jù)說(shuō)，法國(guó)科學(xué)院《會(huì)刊》創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來(lái)規(guī)定論文最長(zhǎng)的只能夠到四頁(yè)。柯西較長(zhǎng)的論文因而只得投稿到其它地方。

定義定理

二維形式

公式變形：

等號(hào)成立條件：當(dāng)且僅當(dāng)

（即

）時(shí)。

一般形式

等號(hào)成立條件：

，或

中有一為零。

上述不等式等同于概述圖中的不等式。

一般形式推廣

此推廣形式又稱卡爾松不等式，其表述是：在

矩陣中，各列元素之和的幾何平均不小于各行元素的幾何平均之和。二維形式是卡爾松不等式

時(shí)的特殊情況。

向量形式

推廣：

三角形式

等號(hào)成立條件：

，且

（即

）。

概率論形式

積分形式

一般形式

設(shè)V是一線性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記做

，它具有以下性質(zhì)：

1、

2、

3、

4、

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)

并定義α的長(zhǎng)度

，則柯西不等式表述為：

驗(yàn)證推導(dǎo)

二維形式的證明

等號(hào)在且僅在

即

時(shí)成立。

三角形式的證明

兩邊開平方得：

向量形式的證明

（只是對(duì)二維的說(shuō)明）

積分形式的證明

構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)，

所以該二次函數(shù)與x軸至多一個(gè)交點(diǎn)，

，

即

當(dāng)且僅當(dāng)

與

線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立。

一般形式的證明

剩余幾種情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的證明方法來(lái)證。

定理推廣

復(fù)變函數(shù)中的柯西不等式

若函數(shù)

在區(qū)域D及其邊界上解析，

內(nèi)一點(diǎn)，以

為圓心做圓周

，只要

及其內(nèi)部G均被D包含，則有：

其中M是

的最大值。

證明：有柯西積分公式可知

所以

其他不等式

卡爾松不等式

琴生不等式

閔可夫斯基不等式

應(yīng)用例子

柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，技巧以拆常數(shù)，湊常值為主。

巧拆常數(shù)證不等式

例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等，求證：

。

證明：將a+b+c移到不等式的左邊，化成：

由于a、b、c為正數(shù)且互不相等，等號(hào)取不到。

附用基本不等式證設(shè)，則所證不等式等價(jià)于

。

因?yàn)?/span>

。所以上式顯然成立。

求某些函數(shù)最值

例：求函數(shù)

的最大值。

函數(shù)的定義域為[5，9]，

，由柯西不等式變形

則

。

函數(shù)僅在

，即

時(shí)取到。

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