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微積分學(xué)是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支，它研究函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。在17世紀(jì)后半葉，英國數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓和德國數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茲總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作，建立了微積分。微積分學(xué)是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)分支，它在自然科學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。微積分學(xué)
數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支
微積分學(xué)
微積分學(xué)，數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支。內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。函數(shù)是微積分研究的基本對(duì)象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限。17世紀(jì)后半葉，英國數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓和德國數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茲，總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作，建立了微積分，但他們的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此尚缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。19世紀(jì)A.-L.柯西和K.魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上；加之19世紀(jì)后半葉實(shí)數(shù)理論的建立，又使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善。
基本信息
中文名
微積分學(xué)
外文名
calculus
學(xué)科門類
研究對(duì)象
理論基礎(chǔ)
學(xué)科特點(diǎn)
理論嚴(yán)密、應(yīng)用廣泛
運(yùn)用領(lǐng)域
天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等
歷史背景
數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。——恩格斯
從15世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代，宗教改革與對(duì)教會(huì)思想禁錮的懷疑，東方先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻(xiàn)的流入歐洲，在當(dāng)時(shí)的知識(shí)階層面前呈現(xiàn)出一個(gè)完全嶄新的面貌。而十六世紀(jì)的歐洲，正處在資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展向自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)提出的種種要求，最后匯總成多個(gè)核心問題：
（1）運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題
即，已知物體移動(dòng)的距離S表為時(shí)間的函數(shù)的公式
（2）求曲線的切線問題
這個(gè)問題本身是純幾何的，而且對(duì)于科學(xué)應(yīng)用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學(xué)是十七世紀(jì)的一門較重要的科學(xué)研究，透鏡的設(shè)計(jì)者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應(yīng)用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線；另一個(gè)涉及到曲線的切線的科學(xué)問題出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)的研究中，求運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)方向，即軌跡的切線方向。
（3）求長度、面積、體積、與重心問題等
這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時(shí)期移動(dòng)的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個(gè)相當(dāng)大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力。實(shí)際上，關(guān)于計(jì)算橢圓的長度的問題，就難住數(shù)學(xué)家們，以致有一段時(shí)期數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)問題的進(jìn)一步工作失敗了，直到下一世紀(jì)才得到新的結(jié)果。又如求面積問題，早在古希臘時(shí)期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區(qū)間[0，1]上與x軸和直線
（4）求最大值和最小值問題
炮彈在炮筒里射出，它運(yùn)行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對(duì)地面的傾斜角，即發(fā)射角。一個(gè)“實(shí)際”的問題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀(jì)初期，Galileo斷定（在真空中）最大射程在發(fā)射角是
創(chuàng)立過程
早期思想
中國古代數(shù)學(xué)家也產(chǎn)生過積分學(xué)的萌芽思想，例如三國時(shí)期的劉徽，他對(duì)積分學(xué)的思想主要有兩點(diǎn)：割圓術(shù)及求體積問題的設(shè)想。
在3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率π的近似值3.141024，并指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”。劉徽對(duì)面積的深刻認(rèn)識(shí)和他的割圓術(shù)方法，正是極限思想的具體體現(xiàn)。數(shù)列極限是函數(shù)極限的基礎(chǔ)，一個(gè)數(shù)列
微分學(xué)
微分學(xué)的基本概念是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是從速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念。牛頓從蘋果下落時(shí)越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學(xué)工具來刻畫這一事實(shí)。若用
積分學(xué)
積分學(xué)的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計(jì)算，以及在理論和實(shí)際中的應(yīng)用。不定積分概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來的。如果對(duì)每一
聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的基本公式是：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則
客觀價(jià)值
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。
產(chǎn)生與發(fā)展
微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對(duì)于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國也有萌芽，甚至不次于古希臘。
微分早期
古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有積分學(xué)的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線所得的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。
極限思想
公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。
公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。
微積分思想
微積分思想雖然可追溯到古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的《夢溪筆談》獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。
特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負(fù)開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級(jí)數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門。可惜中國元朝以后，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。
十七世紀(jì)
到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。
數(shù)學(xué)首先從對(duì)運(yùn)動(dòng)（如天文、航海問題等）的研究中引出了一個(gè)基本概念，在那以后的二百年里，這個(gè)概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)——或變量間關(guān)系——的概念。緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼Euclid幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最大的創(chuàng)造。圍繞著解決上述四個(gè)核心的科學(xué)問題，微積分問題至少被十七世紀(jì)十幾個(gè)最大的數(shù)學(xué)家和幾十個(gè)小一些的數(shù)學(xué)家探索過。位于他們?nèi)控暙I(xiàn)頂峰的是牛頓和萊布尼茨的成就。在此，我們主要來介紹這兩位大師的工作。
實(shí)際上，在牛頓和萊布尼茨作出他們的沖刺之前，微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來了。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、沃利斯；德國的開普勒；意大利的卡瓦列里等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。
例如費(fèi)馬、巴羅、笛卡爾都對(duì)求曲線的切線以及曲線圍成的面積問題有過深入的研究，并且得到了一些結(jié)果，但是他們都沒有意識(shí)到它的重要性。在十七世紀(jì)的前三分之二，微積分的工作沉沒在細(xì)節(jié)里，作用不大的細(xì)微末節(jié)的推理使他們筋疲力盡了。只有少數(shù)幾個(gè)大學(xué)家意識(shí)到了這個(gè)問題，如James Gregory說過：“數(shù)學(xué)的真正劃分不是分成幾何和算術(shù)，而是分成普遍的和特殊的”。而這普遍的東西是由兩個(gè)包羅萬象的思想家牛頓和萊布尼茨提供的。
十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題（積分學(xué)的中心問題）。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。
牛頓
牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。
萊布尼茨
德國的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。
從幼年時(shí)代起，萊布尼茨就明顯展露出一顆燦爛的思想明星的跡象。他13歲時(shí)就像其他孩子讀小說一樣輕松地閱讀經(jīng)院學(xué)者的艱深的論文了。他提出無窮小的微積分算法，并且他發(fā)表自己的成果比艾薩克·牛頓爵士將它的手稿付梓早三年，而后者宣稱自己第一個(gè)做出了這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)。
萊布尼茨與哲學(xué)家、神學(xué)家和文人們進(jìn)行著廣泛的通信交往。在他的宏大計(jì)劃中曾嘗試達(dá)成新教和天主教之間的一個(gè)和解以及基督教國家之間的聯(lián)合，這種聯(lián)合在他那個(gè)時(shí)代意味著歐洲聯(lián)盟。他還做過后來成為普魯士科學(xué)院的柏林科學(xué)協(xié)會(huì)的第一會(huì)長。
他曾服務(wù)于漢諾威宮廷，但當(dāng)喬治一世成為英格蘭國王時(shí)，萊布尼茨沒有被邀請(qǐng)同去，也許是由于他與牛頓的爭端。他的公眾影響力下降了，而在1716年，他再無人注意，甚至被他所創(chuàng)立的學(xué)會(huì)忽視的情況下去世，終年70歲。
創(chuàng)立期爭議
微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。
前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。
不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對(duì)立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。
其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。
應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。
完善邏輯基礎(chǔ)
直到19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，後來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……
歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。
微積分介紹
微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。微積分作為一門交叉性很強(qiáng)的科目，除了在物理等自然科學(xué)上有強(qiáng)實(shí)用性外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上也有很強(qiáng)的推動(dòng)作用。
微積分學(xué)課程
在大學(xué)的數(shù)理、工程、商管教學(xué)中，微積分是“高等數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容之一。其教學(xué)方法自學(xué)科創(chuàng)立之處就受到人們重視。在美國大學(xué)先修課程中，AP微積分AB、BC分別為對(duì)應(yīng)大學(xué)一元微積分半年、全年課程。
在香港，微積分是新高中課程數(shù)學(xué)（延展部分）的一部分，這部分是選修的。
微積分學(xué)應(yīng)用
微積分學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域。它與大部分科學(xué)分支關(guān)系密切，包括醫(yī)藥、護(hù)理、工業(yè)工程、商業(yè)管理、精算、計(jì)算機(jī)、統(tǒng)計(jì)、人口統(tǒng)計(jì)，特別是物理學(xué)；經(jīng)濟(jì)學(xué)亦經(jīng)常會(huì)用到微積分學(xué)。幾乎所有現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，如：機(jī)械、土木、建筑、航空及航海等工業(yè)工程都以微積分學(xué)作為基本數(shù)學(xué)工具。微積分使得數(shù)學(xué)可以在變量和常量之間互相轉(zhuǎn)化，讓我們可以已知一種方式時(shí)推導(dǎo)出來另一種方式。
物理學(xué)大量應(yīng)用微積分；經(jīng)典力學(xué)、熱傳和電磁學(xué)都與微積分有密切聯(lián)系。已知密度的物體質(zhì)量，動(dòng)摩擦力，保守力場的總能量都可用微積分來計(jì)算。例如：將微積分應(yīng)用到牛頓第二定律中，史料一般將導(dǎo)數(shù)稱為“變化率”。物體動(dòng)量的變化率等于向物體以同一方向所施的力。今天常用的表達(dá)方式是 extbf{mph{F}}=m extbf{mph{a}}，它包括了微分，因?yàn)榧铀俣仁撬俣鹊膶?dǎo)數(shù)，或是位置矢量的二階導(dǎo)數(shù)。已知物體的加速度，我們就可以得出它的路徑。
生物學(xué)用微積分來計(jì)算種群動(dòng)態(tài)，輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變。
化學(xué)使用微積分來計(jì)算反應(yīng)速率，放射性衰退。
微積分可以與其他數(shù)學(xué)分支交叉混合。例如，混合線性代數(shù)來求得值域中一組數(shù)列的“最佳”線性近似。它也可以用在概率論中來確定由假設(shè)密度方程產(chǎn)生的連續(xù)隨機(jī)變量的概率。在解析幾何對(duì)方程圖像的研究中，微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點(diǎn)等。
格林公式連接了一個(gè)封閉曲線上的線積分與一個(gè)邊界為C且平面區(qū)域?yàn)镈的雙重積分。它被設(shè)計(jì)為求積儀工具，用以量度不規(guī)則的平面面積。例如：它可以在設(shè)計(jì)時(shí)計(jì)算不規(guī)則的花瓣床、游泳池的面積。
在醫(yī)療領(lǐng)域，微積分可以計(jì)算血管最優(yōu)支角，將血流最大化。通過藥物在體內(nèi)的衰退數(shù)據(jù)，微積分可以推導(dǎo)出服用量。在核醫(yī)學(xué)中，它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。
微積分也被用于尋找方程的近似值；實(shí)踐中，它用于解微分方程，計(jì)算相關(guān)的應(yīng)用題，如：牛頓法、定點(diǎn)循環(huán)、線性近似等。比如：宇宙飛船利用歐拉方法來求得零重力環(huán)境下的近似曲線。
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