在數(shù)學里，區(qū)間通常是指這樣的一類實數(shù)集合：如果x和y是兩個在集合里的數(shù)，那么，任何x和y之間的數(shù)也屬于該集合。例如，由符合0≤x≤1的實數(shù)所構成的集合，便是一個區(qū)間，它包含了0、1，還有0和1之間的全體實數(shù)。其他例子包括：實數(shù)集，負實數(shù)組成的集合等。

區(qū)間在積分理論中起著重要作用，因為它們作為最"簡單"的實數(shù)集合，可以輕易地給它們定義"長度"、或者說"測度"。然后，"測度"的概念可以拓，引申出博雷爾測度，以及勒貝格測度。

區(qū)間也是區(qū)間算術的核心概念。區(qū)間算術是一種數(shù)值分析方法，用于計算舍去誤差。

區(qū)間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S，使得若x和y均屬于S，且x<z<y，則z亦屬于S。例如整數(shù)區(qū)間[-1...2]即是指{-1,0,1,2}這個集合。

中文名

區(qū)間

外文名

interval

標準

新制訂的ISO 80000-2

應用范圍

數(shù)學領域

記號

()和[]

類型

數(shù)學術語

地位

區(qū)間算術的核心概念

記號

通用的區(qū)間記號中，圓括號表示“排除”，方括號表示“包括”。例如，區(qū)間(10,20)表示所有在10和20之間的實數(shù)，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之間的實數(shù)，以及10和20。而當我們任意指一個區(qū)間時，一般以大寫字母I記之。

有的國家是用逗號來代表小數(shù)點，為免產(chǎn)生混淆，分隔兩數(shù)的逗號要用分號來代替。例如

[1,2.3]

就要寫成

[1;2,3]

。否則，若只把小數(shù)點寫成逗號，之前的例子就會變成

[1,2,3]

了。這時就不能知道究竟是1.2與3之間，還是1與2.3之間的區(qū)間了。

在法國及其他一些歐洲國家，是用]與[代替（與）比如

寫成

寫成]1,2[，

這種寫法原先也包括在國際標準化組織編制的ISO31-11內。ISO31-11是一套有關物理科學及科技中所使用的數(shù)學符號的規(guī)范。在2009年，已由新制訂的ISO80000-2所取替，不再包括]與[的用法。

定義

用集合的語言，我們定義各種區(qū)間為：

注意

均是代表空集，單元素集合不能用區(qū)間表示，如集合{0}不能表示為或[0,0]。而當a>b時，上述的四種記號一般都視為代表空集。區(qū)間不為空集時，a,b稱為區(qū)間的端點。一般定義b-a為區(qū)間的長度。區(qū)間的中點則為

區(qū)間[a,b]有時也稱為線段。（不為空集或單元素集的話）

除了表示區(qū)間，圓括號和方括號也有其他用法，視乎語境而定。譬如

也可表示集合論中的有序對丶解析幾何中點的坐標，線性代數(shù)中向量的坐標，有時也用來表示一個復數(shù)，有時在數(shù)論中，用

表示整數(shù)

的最大公約數(shù)。

也偶爾用作表示有序對，尤其在計算機科學的范疇里。同樣在數(shù)論里，用

表示整數(shù)

的最小公倍數(shù)。

有部分作者以

來表示區(qū)間

在實數(shù)集里的補集，即是包含了小于或等于a的實數(shù)，以及大于或等于b的實數(shù)。

無限區(qū)間

我們可以用

符號來表示區(qū)間在某方向上無界。具體定義如下：

特別地，

表示正實數(shù)集，亦記作

。

則表示了非負實數(shù)集。

如果區(qū)間是單側無界，也稱為射線或半直線。如果它包含有限端點，則稱其為閉射線或閉半直線。如果不包含有限端點，則稱其為開射線或開半直線。

一般使用的便是以上五種記號，而

等的寫法則相當少見。有的作者假定區(qū)間為實數(shù)集的子集，對于他們來說，這些寫法要麼是無意義，要麼就是跟用圓括號的意思沒兩樣。在後者的情況下，我們可以寫作

。于是實數(shù)集可被視為又開又閉的區(qū)間。

如果我們考慮擴展的實數(shù)軸，那么這四種寫法是有數(shù)的區(qū)間。

一般而言，對于整數(shù)a,b，具體寫作：

。

除了[a..b]，也有{a..b}和a..b的寫法，意思一樣。

[a..b]的記號被用于一些程式語言，例如Pascal和Haskell。

如果一個整數(shù)區(qū)間是有界的話，那麼它必然包含最小數(shù)a和最大數(shù)b。因此，如果想定義去掉最小數(shù)或最大數(shù)的區(qū)間，只需用[a..b-1],[a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無需像實數(shù)區(qū)間般引進[a..b)或(a..b)的記號。

分類

實數(shù)區(qū)間一共可分成11種，如下所列。其中a,b是實數(shù)，且a

1.

空集

：

2.

退化區(qū)間

(degenrateinterval)：

有界區(qū)間

3.閉區(qū)間：

4.開區(qū)間：

5.左閉右開區(qū)間：

6.左開右閉區(qū)間：

單側無界

有下界但無上界：

7.左閉：

8.左開：

有上界但無下界：

9.右閉：

10.右開：

11.

雙側無界

：

#1、#4、#8、#10、和#11可稱為“開區(qū)間”（標準拓撲下是開集），#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱為“閉區(qū)間”（標準拓撲下是閉集）。#3和#4有時稱為“半開區(qū)間”或“半閉區(qū)間”。#1和#11同時為“開”和“閉”，并非“半開”、“半閉”。

表示法

區(qū)間表示法是指在實數(shù)線上，以視覺化的方式表示出一個區(qū)間的范圍。亦指以區(qū)間形式給出（含有一個未知數(shù)x的）不等式的解集。

性質

上述的各種區(qū)間正是實數(shù)軸上的全體連通子集。由此可推得，一個區(qū)間在連續(xù)函數(shù)下的像也是一個區(qū)間，這是介值定理的另外一個表述。

區(qū)間也恰好涵蓋了實數(shù)集的所有凸的子集。另，設X是

的一個子集，如果Y是包含X的最小閉區(qū)間（即如果Z是另一個包含X的閉區(qū)間，Y也包含于Z），便是Y的凸包。實際上，

任意一組區(qū)間的交集仍然是區(qū)間。兩個區(qū)間的并集是區(qū)間，當且僅當它們的交集非空，又或者一個區(qū)間所不包含的端點，恰好是另一個區(qū)間包含的端點。例如：

如果把

當作度量空間，它的開球便是區(qū)間

（r為正數(shù)），閉球便是區(qū)間

定義推廣

多維區(qū)間

一個n維區(qū)間可定義為

的子集，其為n個區(qū)間的笛卡爾積，即

時，一般來說是定義了一個長方形，它的長和闊分別平行于兩條坐標軸。

時，一般的是定義了一個長方體，它的各邊同樣是平行于坐標軸。

復數(shù)區(qū)間

復數(shù)的區(qū)間可定義成復平面上的一個區(qū)域，兩種合理的選擇是長方形或圓盤。

算法

區(qū)間算術又稱區(qū)間數(shù)學、區(qū)間分析、區(qū)間計算，在1950、60年代引進以作數(shù)值分析上計算舍去誤差的工具。

區(qū)間算術的基本運算是，對于實數(shù)線上的子集

及

：

被一個包含零的區(qū)間除，在基礎區(qū)間算術上無定義。

區(qū)間算術的加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集

是

的子集。